sábado, 19 de diciembre de 2009

LOS AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES

AXIOMAS EN R

(A1) La suma y la multiplicación o multiplicación de dos números reales x e y da como resultado un real.
x+y es un real,
x•y es un real

(A2) Los reales cumplen la ley conmutativa con la suma y el producto.
x+y=y+x
x•y=y•x

(A3) Los reales cumplen la ley asociativa con la suma y el producto.
x+(y+z)=(x+y)+z
x•(y•z)=(x•y)•z

(A4) Los reales cumplen la ley distributiva con la suma y el producto.
x•(y+z)=x•y+x•z(x+y)•z=x•z+y•z

(A5) Para toda x real, existe un elemento 0 real llamado neutro aditivo tal que:
x+0=0+x=x

(A6) Para cada x real, existe un inverso aditivo (-x) real tal que.
x+(-x)=(-x)+x=0

(A7) Para toda x real diferente de cero, existe un elemento real 1 llamado neutro multiplicativo tal que:
x•1 = 1•x = x

(A8) Para cada real x diferente de cero, existe un inverso multiplicativo real (1/x) tal que:
x•(1/x)=(1/x)•x=1

AXIOMAS DE ORDEN

(A9) Para x, y postivos se tiene que z= x+y es positivo.
(A10) Para x, y postivos se tiene que z= x+y es positivo.
(A11) si x≠ 0 se tiene que x es positivo o que x es negativo pero no los dos simultaneamente.
(A12) Si x es negativo entonces (-x) es positivo.
nota: Aquí damos por hecho que 0,1,x,y,z son números reales.

DEFINICION 1.
x es positivo si y solo si x>0.

DEFINICION 2.
x es negativo si y solo si 0>x ó (-x)>0.DEFINICION 3.x-y es positivo si y solo si x-y>0, lo que implica que x>y.

DEFINICION 4.
La igualdad (=) es una relación de equivalencia, es decir,1. a=a (reflexiva)2. si a=b entonces b=a (simétrica)3. si a=b y b=c entonces a=c. (transitiva).

DEFINICION 5.
Para toda x,y reales con y≠0 tenemos que: x•(1/y) = (x/y).

ALGUNOS TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

A partir de los axiomas de R, los axiomas de orden y de las definiciones mostraremos algunas de las propiedades de los reales demostrándolas como teoremas que nos servirán para entender la naturaleza y comportamiento de este conjunto de números.

TEOREMA 1

En los números reales se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la suma, es decir:
i) Si x+y=x+z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x+y=x+z.
Demostración/:
i)y = 0+yy = ((-x)+x)+yy = (-x)+(x+y)y=(-x)+(x+z)y =(-x)+(x+z)y=((-x)+x)+zy= =0+zy==z
la anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis, ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.
ii)Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitiva x+z= x+y.

TEOREMA 2.
Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.
Demostración/:
Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces 01 + 02 = 01 y 02 +01 = 02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).Ahora supongamos que para x hay dos inversos aditivos x1 y x2 tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 = 0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego por ley cancelativa x1 = x2. Luego los inversos aditivos para x real son el mismo. (Análogamente se demuestra para el inverso multiplicativo teniendo en cuenta que x≠0).

TEOREMA 3.
En los números reales distintos de cero se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la multiplicación, es decir:
i) Si x•y=x•z entonces y=z.ii) Si y=z entonces x•y=x•z.
Demostración/:La demostacion es analoga a la del Teorema1.

TEOREMA 4.
-0=0.
Demostración/:Tenemos que 0+(-0) = 0 y 0+0 = 0 luego por ley transitiva 0+(-0) = 0+0, finalmente por ley cancelativa 0 = -0.
TEOREMA 5.
Para x real se cumple: -(-x)= x.
Demostración/:
–(-x) = 0+(–(-x))=(x+(-x))+ (–(-x))= x+((-x)+ (–(-x)))= x+0=x.Podemos ver que usamos los axiomas 4 y 5 y el hecho de que (–(-x)) es el inverso aditivo de (-x).

LEMA
Para toda x real se cumple: x•0=0•x=0.Demostración/:x•0=x• (0+0) = x•0+x•0, luego x•0 = x•0+x•0 y por ley cancelativa 0 = x•0 ò x•0=0, de la misma forma demostramos que 0•x=0, por lo que concluimos que x•0=0•x=0.

TEOREMA 6.
Para x, y reales se cumple: (-x) •y= x•(-y) = -(x•y).
Demostración/:Por lema 0=0•y=(x+(-x)) 0•y = x•y+(-x) •y, entonces 0= x•y+(-x)•y y por ley uniforme se puede sumar -(x•y) y tenemos que -(x•y) = (-(x•y))+x•y+(-x)•y luego (x•y))+x•y=0 por lo que se tiene que: -(x•y) = 0+(-x)•y =+(-x)•y. Analogamente se demuestra que x•(-y)= -(x•y).

TEOREMA 7.
Para x≠0 real se cumple: 1/(1/x)= x.
Demostración/:
Esta demostracion es parecida a la del teorema 5.

TEOREMA 8.
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x•y)= (1/x)•(1/y).
Demostración/:
1/(x•y)=1•1•1/(x•y)1/(x•y)= (x•(1/x)) • (y•(1/y))•1/(x•y)1/(x•y)= (x•y) • ((1/x)•(1/y))•1/(x•y)1/(x•y)=((1/x)•(1/y))• ((x•y) • 1/(x•y))1/(x•y)= (1/x)•(1/y).Aquí hemos usando en repetidas ocasiones propiedades como la ley conmutativa y asociativa para el producto y la existencia de los neutros e inversos multiplicativos.

TEOREMA 9.
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x/y)= y/x.
Demostración/:Aquí vemos como los Teoremas 7 y 8 son usados junto con las propiedades conmutativa y asociatativa del producto para demostrar lo requerido.
1/(x/y)= 1/(x •(1/y))=(1/x)•(1/(1/y))=(1/x) •y = y/x.

TEOREMA 10.
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: x/y + z/w = (x•w+ z•y)/ y•w.
Demostración/: (x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•1(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•((y•w)(1/y•w))(x/y)+(z/w)= ((x/y+z/w)(y•w))(1/y•w)(x/y)+(z/w)= (x/y• (y•w)+z/w• (y•w))(1/y•w)(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)(1/y•w)(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)/(y•w)Note que en esta demostración usamos los axiomas 2, 3, 6 y 7.

TEOREMA 11.
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: (x/y)• (z/w)= (x•z)/ (y•w).
Demostración/:
Al igual que en el teorema anterior aquí usamos la definición 5 los axiomas 2, 3 y los teoremas 8 y 9 .(x/y)•(z/w)=((x/y)•z)/w(x/y)•(z/w)= ((x•(1/y))•z)/w(x/y)•(z/w)= (x•((1/y)•z)/w(x/y)•(z/w)= (x•(z/y))/w(x/y)•(z/w)= ((x•z)/y)/w(x/y)•(z/w)= x•z/y•w.

TEOREMA 12.
Para x, y y z reales se cumple: x>y si y solo si x+z>y+z.
Demostración/:Sea a= x+z y b= y+z, entonces a-b=(x+z)-(y+z)=x-y como a>b si y solo si a-b>0 y por transitividad de a>b se deduce que x+z>y+z.Por otro lado veamos que x+z > y+z si y solo si (x+z)-(y+z) >0 luego x-y >0 x>y.

TEOREMA 13.
Para x, y y z reales con z distinto de cero se cumple:
i) x>y si y solo si x•z>y•z con z>0.
ii) x>y si y solo si y•z > x•z con 0>z.Demostración/:
Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, si z>0 entonces z tambian es positivo y por los axiomas de orden vemos que (x-y)•z es positivo si y solo si (x-y)•z >0Si y solo si x •z -y•z>0 si y solo si x •z >y•z.Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, 0>z entonces (-z)>0 usando el mismo razonamiento que en i) llegamos a que y•z-x•z>0 si y solo si y•z >x•z.ii) se deduce de la misma forma.

TEOREMA 14.
Para x, y reales distintos de cero se cumple:
i) Si x•y>0 con x>0 entonces y>0.ii) Si x•y>0 con 0>x entonces 0>y.iii) Si 0> x•y con x>0 entonces 0>y.iv) Si 0> x•y con 0>x entonces y>0.
Demostración/:Supongamos que no se cumple la tesis, es decir, 0>y como x>0 entonces por teorema 13 0>x•y llegando a la contradicción de la hipótesis o sea que lo afirmamos anteriormente es falso, llegando a la demostración del teorema (análogamente se demuestra para ii),iii) y iv).

TEOREMA 15.
Para x≠0 real se cumple: x²>0 .
Demostración/:
Si x>0 entonces x es positivo luego x•x=x² es positivo si y solo si x²>0.Si 0>x entonces (-x) es positivo luego (-x)•(-x)=(-x)² es positivo si y solo si (-x)²>0.Pero (-x)•(-x)=-(x•(-x))=-(-(x•x))=x•x=x² por teorema 6, con lo que vemos que (-x)•(-x)= x²>0.

TEOREMA 16.
Para x≠0 real se cumple:i) x>0 si y solo si (1/x)>0.ii) 0>x si y solo si 0>(1/x).
Demostración/:
Como x>0; x≠0 entonces existe (1/x), luego x•(1/x)=1 entonces.x>0 implica que x•1>0 si y solo si x• (x•(1/x)) >0, luego x²•(1/x )>0 y como x²>0 por teoremas 13 y 14 se deduce que 1/x>0.Por otro lado 1/x>0; x≠0 entonces existe x, luego x•(1/x)=1 entonces.1/x>0 implica que (1/x)•1>0 si y solo si (1/x)• ((1/x)•x)) >0, luego (1/x)²•x>0 y como (1/x)²>0 por teoremas 13 y 14 se deduce que x>0.La demostración de ii) es analoga.

Es muy interesante ver como de estas propiedades podemos deducir muchas mas lo que significa que los números reales son un conjunto muy complejo pero muy util, ya que muchos de los problemas que nos plantea la mayoria de las ciencias pueden ser resueltos con dichos números por ser ricos en propiedades. Sin embargo exiten otros conjuntos que son una extención de los reales que seirven para solucionar situaciones en donde se necesitan de numeros imaginarios que a partir de la teoría de los reales se pude definir propiedades análogas a las de los reales.